17.04.2018 - Was sind Vektoren?

  • Was sind Vektoren?

    In der Physik

    • gebundene Vektoren
    • $\mathbb{R}^2$

    [Zeichnung - Graph]

    • $A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B)$
    • Nennen gebundene $\overline{AB}, \overline{CD}$ äquivalent, wenn sie gleiche Richtung, gleiche Länge haben
      $\equiv x_B - x_A = x_D - x_C; y_B - y_A = y_D - y_C$
    • $\overline{AB}$ ~ $\overline{CD}$
    • ~ Äquivalenzrelation
      • Menge aller gebundenen Vektoren zerfällt in Äquivalenzklasse.
      • Freier Vektor $\leftrightarrow$ Äquivalenzklasse
    • Wählen Repräsentanten ($\leftarrow$ kann jeder sein)
      • üblich ist der gebundene Vektor, der bei $(0, 0)$ startet

    [Zeichnung - Graph]

    Addition freier Vektoren

    [Zeichnungen - Graphen]


    Wie geht's weiter?

    • dieselben Fragen in $\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^4, ...$

    Mathematik

    • Schaffen eine Theorie für viele konkrete Situationen

    Fragestellung: $\mathbb{R}^3$ Vektor $u, v$

    • bilden ${\alpha * u + \beta * v | \alpha, \beta \in \mathbb{R}}$
    • wenn $u + 0, v + 0$ und $u \neq \gamma * v, \gamma \in \mathbb{R}$
    • Fläche im $\mathbb{R}^3$ Raum (Ebene)

    Gegeben Vektor $w$, liegt der in Ebene?

    • Gleichungssystem


    Jetzt

    • $K$-Vektorraum $V, K$ Körper
    • Körper:
      • algebraische Struktur (ähnlich in Informatik: ADT)
        • Trägermenge
        • Operationen
        • Axiome (Was soll für Operationen gelten?)

    Brauchen, was fordern wir von:

    • Skalaren
    • Vektoren
    • Zusammenspiel Vektoren $\leftrightarrow$ Skalare


    Begriff der Gruppe


    Definition:

    • $(G, *)$ mit $G$ Grundmenge
      und $* : G \times G \rightarrow G$ zweistellige Operation
      heißt Gruppe, falls
      • $(G1) \forall x, y, z \in G : (x * y) * z = x * (y * z)$ - Assoziativ
      • $(G2) \exists e \in G \forall x \in G : e * x = x * e = x $
        $e - neutrales Element bezüglich x$
      • $(G3) \forall x \in G \exists \bar{x} \in G : x * \bar{x} = \bar{x} * x = e$
        $\bar{x} - inverses Element zu x$
      • $(G4) \forall x, y \in G : x * y = y * x$
        Kommutative / Abelsche Gruppe

    Beispiele:


    1. $(\mathbb{R}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{Z}, +)$ sind Gruppen
      aber $(\mathbb{R}, *), (\mathbb{Q}, *), (\mathbb{Z}, *)$ sind keine Gruppen (aber Halbgruppen), da kein inverses Element zu $0$
      $(\mathbb{R} \backslash \{ 0 \}, *), (\mathbb{Q} \backslash \{0\}, *)$ sind Gruppen
      $(\mathbb{Z} \backslash \{ 0 \}, *)$ keine Gruppe, i. A. keine inversen Elemente
    2. Grundmenge $F = \{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$
      $f * g$?
      $\forall x \in \mathbb{R} (f*g)(x) = f(x) + g(x)$

      neutrales Element $f = 0 \forall x f(x) = 0$
      inverses Element $(-f)(x) = -f(x)$
    3. $M$ endliche Menge
      $S(M)$ Menge aller Permutationen von $M$ (bijektive Abbildung von $M$)
      $((S(M),\circ)$ ist Gruppe mit neutralem Element $\rightarrow$ Identität

      für $|M| \geq 3$ nicht Abelsch
    4. WICHTIG $n \geq 2$

      Grundmenge $\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, ..., n-1\}$
      $+_n : \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}_n$; $a +_n b := (a + b) mod n$

      Ist Gruppe!

      $n = 6$; $4 +_n 4 = 2$
      Inverses zu $4 = 2$
      neutrales Element $= 0$

      $(\mathbb{Z}_n, *_n)$; $a *_n b := (a * b) mod n$

      Keine Gruppe! Kein Inverses zu $0$
      neutrales Element $= 1$

      $\mathbb{Z}_n \backslash \{0\}, *_n)$

      Ist Gruppe? Genau dann, wenn $n$ Primzahl
      $n$ keine Primzahl

      $\exists n = n_1 * n_2$, $n_1, n_2 \lt n$
      keine Gruppe, weil nicht abgeschlossen gegen Multiplikation $n_1 *_n n_2 = 0 \notin (\mathbb{Z}_n \backslash \{0\}$